Zagadka kaczmarologiczno - rolnicza

[dauri]

Pewien rolnik miał 2 pola, każde o kształcie trójkąta prostokątnego, mające jeden bok wspólny jak na poniższym obrazku. Obwód mniejszego pola wynosi p, a większego pola q.



Pewnego dnia rolnik otrzymał od syna-studenta list o treści:

Mnie tu męczą, że mam ojca, który ziemi źle używa!
Weź ty się skolektywizuj! Nie ma to jak w kolektywach!

W odpowiedzi rolnik połączył oba pola w jedno i ze zdumieniem stwierdził, że nowe pole ma również kształt trójkąta prostokątnego. Jaki jest obwód nowego pola?

W ramach konkursu proszę o podanie jak najkrótszego i najbadziej eleganckiego rozwiązania najpóźniej 18.11.2007. Jedno takie rozwiązanie znalazłem - zwycięzca otrzyma ode mnie prezencik, o ile jego rozwiązanie będzie nie dłuższe niż moje.

[Luter]

Ciekaw jestem Twojego rozwiązania, Dauri.

Moje rozwiązanie.

[Ola]

Nie dałeś mi szans Lutrze ... Ale chyba nie będę oglądać twojego rozwiazania i sama sobie je zrobię

[dauri]

sama sobie je zrobię

I słusznie, bo można o wiele prościej

[Niktważny]

Jaki jest obwód nowego pola?

W ramach konkursu proszę o podanie jak najkrótszego i najbadziej eleganckiego rozwiązania najpóźniej 18.11.2007

Odpowiedź: Obwód Kaliningradzki

[Freed]

A to moja propozycja. Z góry przepraszam za formę zapisu, ale w tej chwili nie mogę inaczej. ^ 2 oznacza kwadrat .
Dla ułatwienia zapisu wprowadzam oznaczenia:
AB = a
BH = b
AH = c
HC = d
AC = e
b + d = f
k = f + a + e
p = a + b + c
q = c + d + e

Moje rozwiązanie jest takie:
Zapisujemy tw. Pitagorasa dla wszystkich trzech trójkątów prostokatnych:

f^2 = a^2 + e^2
e^2 = d^2 + c^2
a^2 = b^2 + c^2

Dodajemy stronami i otrzymujemy:

f^2 + e^2 + a^2 = a^2 + b^2 + c^2 + c^2 + d^2 + e^2

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech wyrażeń i mamy:

(f + a + e)^2 – 2fa – 2ae – 2fe = (a + b + c)^2 – 2ab – 2ac – 2bc + (c + d + e) ^2 – 2cd – 2ce – 2de

Po wykorzystaniu f = b + d oraz wzorów na k, p i q oraz uproszczeniu dostajemy:

k^2 = p^2 + q^2 - 2(ac + bc + cd + ce – ad – ae – be)

Z podobieństwa wszystkich trzech trójkątów mamy:

a/b = e/c, a więc ac = be
a/f = c/e, a więc ae = fc = bc + dc
a/c = e/d, a więc ad = ce

Wstawiamy i i po uproszczeniu:

k^2 = p^2 + q^2

k = pierw (p^2 + q^2)

i jest obwód po kolektywizacji!

Pozdrawiam.

[Luter]

I słusznie, bo można o wiele prościej

Nie przesadzaj, Dauri. Do problemu konia (nie marcepanowego) i skłutego boku mojemu rozwiązaniu jeszcze daleko.

[Freed]

Lutrze - krótkie i eleganckie! Ustępuję pola.

Ciekawe, czy Dauri zna krótsze rozwiazanie?.

[Elzbieta]

Ciekaw jestem Twojego

Ja tez. Lutrze -Twoje piekne! Dzis probowalam w drodze do pracy. Na nic krotszego wpasc nie potrafie. (Matematyka od bardzo dawna sie nie zajmuje, dawniej moja niebywala pasja.)

[Luter]

Lutrze - krótkie i eleganckie! Ustępuję pola.
Ciekawe, czy Dauri zna krótsze rozwiazanie?.

Żeby nie narazić się na zarzut matactwa zaznaczam, że wczoraj zamieściłem rozwiązanie identyczne z Twoim, ale poprawiłem je i teraz jest odrobinę krótsze, choć do rozwiązania Konopowego i tak mu jeszcze daleko.

[dauri]

Moje rozwiązanie jest nieco dłuższe:



Rozwiązanie Lutra jest jak na razie najbardziej eleganckie i chyba ciężko będzie Go pokonać...

[dauri]

A więc zwyciężył Luter :poklon: , w nagrodę otrzymuje zaproszenie na projekcję filmu Kennetha Brannagha "The Magic Flute" oraz słuchanie trzech wykonań "Don Giovanniego" -pod batutą Norringtona, Haitinka i Jacobsa - to ostatnie z Olgą Pasiecznik w roli Donny Anny.

[tmach]

Potrzebuję pomocy. Sklerozę mam tak zaawansowaną, że nie pamiętam już wzoru. Nawet nie pamiętam, czy takowy wzór istnieje. Meritum.
Znam długość cięciwy koła. Znam odległość od cięciwy do koła. Potrzebuję obliczyć promień.
Można to obliczyć? A jeśli tak, to w jaki sposób.

[Freed]

Można to obliczyć? A jeśli tak, to w jaki sposób.

Tak na szybko, bez szukania wzorów (^2 oznacza „do kwadratu”):

Połowa długości cięciwy koła – a;
Odległość cięciwy od koła – x;
Promień koła – R.

Z twierdzenia Pitagorasa: R^2 = a^2 + (R-x)^2.
Z tego:

R = (a^2 + x^2)/2*x.

Pozdrawiam.

[tmach]

Po 2 tygodniach ustalania sald mam myślenie w zaniku. Chyba widać.

[Freed]

Po 2 tygodniach ustalania sald mam myślenie w zaniku.

E, nie przejmuj się. Czasem, jak mnie wciągną i zmielą "korporacyjne trybiki" zostają tylko odruchy bezwarunkowe. Jak w "Prapradziadku" .