Obława dla matematyków

[dauri]

W środku kwadratu skulony wilk smacznie sobie śpi. Na wierzchołkach kwadratu siedzą cztery gończe psy (po jednym na każdym wierzchołku). Nagle wilk się budzi i zaczyna się poruszać po kwadracie, z prędkością nie przekraczającą V i próbuje wydostać się poza kwadrat. Psy starają się go nie wypuścić, ale mogą chodzić tylko po bokach kwadratu, z prędkością nie przekraczającą 1,5*V. Jeżeli wilk i pies znajdą sie w tym samym miejscu, to wilk zagryza psa. Jeżeli dwa psy i wilk znajdą się w tym samym miejscu, to psy zagryzają wilka.

Udowodnić, że cokolwiek wilk by nie robił, psy zawsze są w stanie tak manewrować, by nie wypuścić go żywego poza kwadrat.

Pozdrawiam
Dauri

[Zeratul]

Udowodnić, że cokolwiek wilk by nie robił, psy zawsze są w stanie tak manewrować, by nie wypuścić go żywego poza kwadrat.

Faktycznie - nawet taktyka optymalna - natychmiastowy ruch w kierunku rogu nie pozwoli wilkowi prześcignąć psa dołączającego z innego rogu
Jednak formalny dowód tego byłby trudny :

Pozdrawiam
Zeratul

[Bea]

Jednak formalny dowód tego byłby trudny :

To znaczy? Czemu? :
Pozdrawiam

[Alek]

Myślę,że Zeratul miał na myśli rozwlekły. A trudny chyba nie... Można to zrobić wzorem na drogę i twierdzeniem Pjetji Gorasa. Tak mi się przynajmniej wydaje

[Bea]

Można to zrobić wzorem na drogę i twierdzeniem Pjetji Gorasa. Tak mi się przynajmniej wydaję

Mistszu, dokładnie o tym samym pomyślałam . Dlatego zapytałam co Zeratul miał na myśli. No bo dlaczego rozwlekły? To tylko dwa wzory i już :

[Zeratul]

Można to zrobić wzorem na drogę i twierdzeniem Pjetji Gorasa. Tak mi się przynajmniej wydaję

Mistszu, dokładnie o tym samym pomyślałam . Dlatego zapytałam co Zeratul miał na myśli. No bo dlaczego rozwlekły? To tylko dwa wzory i już :

A skąd weźmiecie optymalną drogę?
Zdroworozsądkowo będzie nią droga środek-róg, ale to też trzeba by było udowodnić (i to byłoby IMO najtrudniejsze)

Pozdrawiam
Zeratul

[Bea]

A skąd weźmiecie optymalną drogę?

Hm... no ale: aby wilk mógł wyjść z kwadratu powinien pokonać drogę 1,5 raza mniejszą od drogi psa (to wynika z proporcji prędkości). Czyli jednoznacznie mniej niż 0,67 drogi psa. Jeżeli wilk jest w środku kwadratu to nie ma takiego punktu na granicy kwadratu. Tak sobie myślę
Pozdrawiam

[Zeratul]

Jestem pod wrażeniem
Jednak zstanawiam się czy gdyby wilk wykonał najpierw ruch do punktu oddalonego o ε od jednego rogu, a następnie rzucił się w drugą stronę?
Przy założeniu, że wtedy trzy psy znajdą się w pobliżu jednego rogu (teoretycznie nawet o mniej niż ε) to czy zdążą pokonać drogę (2a - ε) szybciej niz wilk pokona drogę (a*sqrt(2) - ε)?
edit: fakt- wychodzi 2,1213203435596425732025330863145 * a jako droga psów, więc, żeby wilkowi udała się ucieczka różnica między ε a odległością psów od rogu musiałaby być większa od 0,12... * a , a to raczej niemożliwe

Pozdrawiam
Zeratul

[Przemek]

No dobrze, a gdyby to był wilk Chucka Norrisa ???

[Luter]

W udostępnionym na stronie rękopisie utworu Błogosławię zło... znajduje się (skreślony przez JK) tekst: "Prawo wielkich liczb, czy reguła przypadku". To jeden z najbardziej "matematycznych" motywów w całej twórczości Mistrza. O prawach wielkich liczb mało kto nawet słyszał... No, ale JK kończył klasę o profilu matematyczno-fizycznym.

KN.

[ann]

Chyba nic nie rozumiem 8o

No dobrze, a gdyby to był wilk Chucka Norrisa ??

Kopnąłby psy z półobrotu :]

[dauri]

musielibyśmy wykazazać jedynie, że czas w jakim wilk dostanie się do punktu (x,y) wewnątrz kwadratu, jest dłuższy niż czas w jakim pies dotrze do wspomnianego rzutu na bok po którym się porusza, a w zasadzie moglibyśmy ograniczyć się do najbardziej skrajnego przypadku, kiedy wilk (jak wspomniał Zeratul) rzuca się bezpośrednio do jednego z wierzchołków, żeby zagryźć psa.

Ale właśnie to nie jest oczywiste. Twoje rozwiązanie - jeżeli dobrze zrozumiałem - ogranicza się do przypadku, gdzie wilk pędzi od środka do jednego z wierzchołków z maksymalną prędkością, jest więc niepełne. Wilk może w dowolny sposób kluczyć, zwalniać, przyśpieszać, starając się nakłonić psy do przyjęcia takich pozycji, z których dwa z nich nie mogłyby już go dogonić kiedy zacznie pędzić do wybranego punktu na obrzeżu kwadratu.

Jednak zstanawiam się czy gdyby wilk wykonał najpierw ruch do punktu oddalonego o ε od jednego rogu, a następnie rzucił się w drugą stronę?

No właśnie, należy rozważyć taki przypadek, rozwiązanie powinno uwzględnić wszystkie możliwe strategie wilka.

Dziękuję i pozdrawiam
Dauri

[dauri]

Jeżeli wil ruszyłby dajmy na to ukośnie do osi układu współrzędnych to jego drogę możemy rozłożyć na składową poziomą i pionową i w ten sam sposób wykazać że pies wyścignie wilka w drodze do rzutu na boki zarówno w jedną i drugą stronę.

Ale ja nadal czegoś nie rozumiem. Jeżeli w danym momencie wilk jest dajmy na to w punkcie M(X,Y) i ten punkt ma konkretne "rzuty na boki", to przecież psy mogą dążyć do tych rzutów tylko w tym momencie, bo za chwilę te rzuty będą w zupełnie innym miejscu, psy muszą więc zmienić cel (i ewentualnie kierunek) i te obliczenia geometryczne nie są wystarczające ;( Twój pomysł z rzutami jest bardzo dobry, ale chyba wymaga doprecyzowania?

Pozdrawiam
Dauri

[dauri]

Wilk rozpoczyna w punkcie (0;0) i z mojego założenia wynika, że jak tylko się poruszy psy ruszaję za nim. Oczywiście zakładam, że ich ruchy (psów i wilka)odbywają sę w sposób idealnie skoordynowany, bo uwzględnienie w tym jeszcze czasu reakcji psa to już za wysoka matematyka jak na mnie

Jeżeli oznacza to, że psy w każdym momencie znajdują się w punkcie "rzutów" punktu, w którym jest wilk, na boki kwadratu, to jest to poprawne rozwiązanie. Oczywiście abstrahując od czasu reakcji wilka, ale i z tym można sobie poradzić, gdyż mamy pewien "zapas" w postaci różnicy między 1,5 - sqrt(2).

Wkrótce zagadka pt. "Zatruta studnia"

Dziękuję za rozwiązanie i wyjaśnienia, i pozdrawiam
Dauri

[ann]

Wkrótce zagadka pt. "Zatruta studnia"

To będzie dla chemików? )

[nadzieja]

Chodziłam na kółko toksykologiczne na studiach, więc może tym razem będzie mi dane się wykazać...
Bardziej spodziewam się jednak kolejnego matematycznego wywodu.

[dauri]

To będzie dla chemików? )

Dla chemików może innym razem...

Bardziej spodziewam się jednak kolejnego matematycznego wywodu.

I słusznie!

Ale do rzeczy. Zatrutość tej studni nie polega na chemii, lecz na tym, że zadanie wydaje się na pierwszy rzut oka trywialne, ale ja już ponad rok nad nim siedzę i jedyny mój sukces to sprowadzenie go do równania czwartego stopnia. Będę więc wdzięczny, jeżeli albo ktoś to rozwiąże jakąś ludzką metodą, albo udowodni że się nie da. Tekst zadania jest w załączniku.

Pozdrawiam
Dauri

[Bea]

zadanie wydaje się na pierwszy rzut oka trywialne, ale ja już ponad rok nad nim siedzę i jedyny mój sukces to sprowadzenie go do równania czwartego stopnia

Hm... no póki co też doszłam do tego miejsca co i Ty. A zadanie wydaje się dość proste...

[mejdejo]

to wszystko zależy od tego czy psy podążają za wilkiem z opóźnieniem czy bez opóźnienia. Jeżeli jest minimalne opóźnienie to wilk może opuścić kwadrat:
Wilk znajduje się w niskończenie małej odległości od rogu kwadratu - jednak nie znajduje się na lini przekątnej kwadratu. Pies znajduje się w niskończenie małej odległości od rogu kwadratu będąc na lini krawędzi kwadratu. Teraz jeżeli pies reaguje z opóźnieniem na ruchy wilka, to wilk może wykonać ruch po lini prostej w lewo ( zakładając, że jest przy prawym górnym rogu). Ruch ten musiałby być jednak mniejszy od odległości, w której znajduje się wilk od rogu kwadratu. Wilk wykonuje ten ruch i natychmiast rusza w stronę rogu kwadratu. Pies wykonuje ruch w lewo z minimalnym opóźnieniem i rusza w stronę rogu kiedy wilk jest już w swej drodze do tegoż rogu. W takim wypadku działając na nieskończenie małych odległościach psu niewiele da prędkość 1,5V, ponieważ opóźnienie z jakim reaguje na ruchy wilka niweluje tę prędkość i wilk zdołałby wyrwac się z kwadratu..

Dobry mam tok rozumowania?

[Krasny]

Studnia ma metr i 23 centymetry srednicy

[Bea]

Studnia ma metr i 23 centymetry glebokosci

A po co Ci ta głębokość? :o

[Krasny]

Pozwolilem sobie zrobic korekcje przeszlosci Jasne ze chodzi o srednice

[Bea]

Jasne ze chodzi o srednice

A podasz jak do tego doszedłeś?

[dauri]

Obława:

Wilk znajduje się w niskończenie małej odległości od rogu kwadratu - jednak nie znajduje się na lini przekątnej kwadratu. Pies znajduje się w niskończenie małej odległości od rogu kwadratu będąc na lini krawędzi kwadratu. (...) Dobry mam tok rozumowania?

Jeszcze należałoby udowodnić, że psy nie są w stanie zapobiec wystąpieniu opisanej przez Ciebie pozycji wyjściowej. Potem tok rozumowania wydaje się poprawny.

Zatruta studnia:

Studnia ma metr i 23 centymetry srednicy

Czy rozwiązałeś to metodą numeryczną? Ja też to tak rozwiązałem (nie pamiętam czy wynik był taki sam) i było to bardzo łatwe, ale chodziło mi oczywiście o rozwiązanie geometryczne

Pozdrawiam
Dauri

[Agatka]

Z okazji mojego braku talentu do matmy wręcyłam to zadanie rok starszej koleżance, z zapewnieniem, że dostanie czekoladę, jak je rozwiąże (tak w ramach przygotowania do olimpiady, zeby się nie nudziła ) ciekawe co z tego będzie

Pozdrawiam
Agatka

[ Dodano: 22 Marzec 2006, 22:45 ]
To stworzenie twierdzi, ze to zrobiło o tej zatrutej studni. Wyszedł jej Pierwiastek z 61/3
Nie mam bladego pojęcia jakim sposobem, bo to tylko przez sms komunikacja

Pozdrawiam
Agatka

[dauri]

Z okazji mojego braku talentu do matmy wręcyłam to zadanie rok starszej koleżance, z zapewnieniem, że dostanie czekoladę, jak je rozwiąże (tak w ramach przygotowania do olimpiady, zeby się nie nudziła ) ciekawe co z tego będzie

[ Dodano: 22 Marzec 2006, 22:45 ]
To stworzenie twierdzi, ze to zrobiło o tej zatrutej studni. Wyszedł jej Pierwiastek z 61/3
Nie mam bladego pojęcia jakim sposobem, bo to tylko przez sms komunikacja

No niestety, pierwiastek z 61/3 to w przybliżeniu 4,50 - a na podstawie samego tekstu zadania jest oczywiste, że średnica studni jest mniejsza od długości najkrótszego z dwóch kijów. Koleżance przygotowującej się do olimpiady proszę przekaż, że należy sprawdzać wynik zadania z założeniami, ilekroć jest to możliwe. Czekoladę chętnie sfinansuję po otrzymaniu prawidłowego rozwiązania ;-).

Na razie przybliżenie wyniku podał Kraśny, ale milczy w kwestii sposobu rozwiązania. Bardziej dokładne przybliżenie to 1,231185725 m - ale chodzi mi o dokładny wynik (właśnie taki z pierwiastkami) i o pełne rozwiązanie, o ile istnieje.

Pozdrawiam
Dauri

[Agatka]

Koleżance przekażę (olimpiadę już przeszła i nie wiem jak jej poszło). To jej przekażę, ze wynik błędny i niech dalej kombinuje

pozdrawiam
Agatka

PS Ann zmieniła mi nicka, informuję Agaciczek to obecnie Agatka